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物理学中的群论
复旦大学 陶瑞宝

　　在物理学研究的各个层次上，群论已经是一种常用的数学工具，它已被用来揭示物理体系的对称性所蕴藏的深层含义，经过几十年的积累，群论的一些术语和记号已经成为现在物理工作者的通用语言，本书是在我1986年和1989年出版的“物理学中的群论”（上、下册）的基础上，参考了近20多年来群论在凝聚态物理方面的某些应用的深入和开拓，进行了一些修改和更新。由于我自己专业的局限性，因此本书确切地说是一本仅为从事凝聚态物理工作者，特别是从事分子和固体物理研究的工作者而编写的群论书，是一部物理学中的群论基础及其在分子和固体物理中的某些应用的书。因此，本书无论在群论的基础部分还是应用部分，都主要集中在分子和固体对称性相关的群的结构、表示和应用方面，对点群和空间群（包括磁点群和磁空间群）、SU（2）群的结构及其表示作了较为详尽的介绍，应用也是主要限于分子和固体中振动态和电子态相关的对称性理论。

　　本书的1-14章是群论的数学基础部分，其理论框架都比较成熟，改动只是一些技术性的。在这方面，国际上的一些为物理学家而写的群论专著，都有各自的侧重点，在不同的侧重点上，表现了各自的特色。本书在这些专著的基础上，尽量用我对它们理解的语言把有关群的结构和表示表述清楚。例如，三维晶体为什么只有14种晶格结构型式和230个空间群的推演，从教学的角度一直是较难简单论证和说清的内容，受Lyubarski，O.Ya.一书（1958年）的启示，我采用了几何和代数相结合的方法给出了有关空间群结构的比较完整和清晰的推演，并通过对一个典型空间群的练习性的代数推导，给读者一个清晰而严格的示范，使初学者学习了这部分内容以后相信只要自己愿意，也是可以毫无疑问地推导出所有其他空间的结构的，从而对晶体的结构有清晰的了解。同时，考虑到低维物理的迅速发展，我添加了对17个二维空间群的完整推演。至于有关空间群和磁空间群的表示和共表示的理论部分，本书没有作多大改动，内容仍主要参照了Bradley，J.C.andCracknell，A.P（1972年）的名著，在基于Kovalev，O.V.（1961年）表和投影表示的理论框架，给予空间群和磁空间群的表示一个严格而系统的介绍，并通过具体例子来引导读者掌握如何从现有的Kovalev投影表示来建造空间群的表示。现在，固体极化材料的研究愈来愈重要，时间反演操作在凝聚态物理的研究中愈来愈重要，因此在本书中，我继续保留较大的篇幅介绍具有反幺正操作的磁群和与它相关的共表示理论，这部分内容，在本书第21章晶体晶格振动的理论中也有明显的应用。

　　有关连续群部分，根据以往的教学经验，本书删除了原书中有关拓扑空间等两节的内容，直接从李群出发，并适当改写了无穷小产生子和无穷小算子部分的内容。本书仍然保留了李代数的结构和李代数表示这两章的基本内容，因为它不单在粒子、核和场论等领域得到大量应用，现代凝聚态理论的发展，也愈来愈需要李代数及其表示的理论的帮助。

　　本书的后面七章是关于群论在物理学中的某些应用。首先，把原来书中的“群论与量子力学”及“固体的宏观对称性”合并成第十五章的“群论与物理体系的对称性”，添加了量子力学中的守恒量和守恒流、辫子群的简单介绍和它的一维表示、任意子统计的概念等内容。第十六章是有关分子中电子态的对称理论，与原来相比，本书作了较大的精简，重点放在分子多电子波函数的组成和分子中电子轨道的杂化等与群论紧密相关的问题。第十七章是有关原子和离子的电子态在环境场下的对称破缺，加重了从球对称自旋无关的高对称场下的电子态在引入各种相互作用后“对称破缺链”的对称群演化的详细描述。改动较大的章节是第十九章有关二级相变理论和第十二章的晶体中的电子态，在第十九章中有关朗道相变的基本理论框架，我改为采用我们在1988年所作的关于朗道相变理论的推导的工作。此外，添加了一节“非均匀相变和动力学演化的朗道理论的推广”，这是基于序参量时空演化的理论，现在有着非常广泛的应用。在第二十章中，除了保留紧束缚近似、k.p方法外，删除了那些比较陈旧的内容，并以较大的篇幅添加了半导体中的自旋-轨道耦合，从群论方法推到了目前广为应用的自旋-轨道耦合的有效哈密顿量（像Rashba，Dresselhaus和Lüttinger自旋-轨道耦合哈密顿等）。

　　我希望修改后的这部《物理学中的群论》对物理类研究生和青年研究工作者，特别是在凝聚态物理领域的工作者和学生，无论是初学者或已经有了群论基础的研究工作者有用。