中国教育

    开天辟地之初，人类就开始与数打交道。数即是数目的意思。正如《汉书·律历志上》云：“数者，一十百千万也。”

    数进入数学体系就成为它的最基本概念之一，数的概念是随着人类的生产和生活实践的不断发展而逐渐形成的，并且永无止境地发展着。从古至今，以自然数为开端，接着是有理数与无理数、正数与负数、实数与虚数，直至复数，共同构成数的概念不断拓展的系列。每一次拓展都是一次创造思维的跃升。

    什么是数学？

    数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。古时候，人类在生产和生活实践中便获得了数的概念和一些简单几何形体的概念。自此开始，到16世纪，创立了包括算术、初等代数、初等几何和三角的初等数学。17世纪引入变量概念是数学发展史中的转折点，这使得运动和辩证法进入数学，开始研究变化中的量与量之间相互制约关系和图形间的相互变换。近年来，由于数学在自然科学和技术领域的广泛应用，又由于计算技术的迅猛发展，数学对人类认识自然和改造自然的重要作用也显示得更加清楚了。至今，现代数学已经形成了包括数理逻辑、数论、代数学、几何学、拓扑学、函数论、泛函分析、微分方程、概率论、数理统计、计算数学及边缘学科运筹学、控制论等在内的庞大体系。

    与数的发展一样，数学发展史也是创造思维不断发展的历史。

    数学是中小学生的主科。数学学习是中小学生增长学习能力和创造能力的广阔天地。

    阴错阳差的巧事，张冠李戴的误会，在大千世界，这等笑话，时有发生。可是，在数学课上，难道也会发生驴唇不对马嘴的事情吗？

    （一）平地起风雪

    话题是从一道浅显的代数题引发的。这是一个发生在某中学初一新生的一节数学课上的小故事。快下课时，老师出了一道题：“若a为自然数，说出a以后的7个连续自然数。”一个小女孩举手抢答：“a，b，c，d，e，f，g。”话音刚落，便引起哄堂大笑，老师也愕然了。女孩觉察到，自己的答案，驴唇不对马嘴。出了笑话，落个满脸通红。

    接着，一个男孩起来补正：“a＋1，a＋2，a+3，a+4，a＋5，a+6，a+7。”尔后，下课铃响了。

     事情平平常常。一个女孩答错了题，一个男孩纠正过来，全班同学都明白了正确答案。下课，大家就都散了。

    那么，这件事是否到此就算了结了呢？

    请思考10分钟，然后，发表你的见解。

    单兵——我看是了结了。老师完成了教学任务，学生也完成了学习任务。

    焦小敏——如果说没有了结，那就是老师还得教育同学们，不要把这事当成奚落那位小姑娘的笑柄。

    张娟——还有，班上的同学也有义务鼓励那位小姑娘。

    赵燕——直截了当地说，我认为没有了结。因为任何结果都有原因。小姑娘答成“a，b，c，d，e，f，g”这是她思维的结果。那么，她一定有个由此及彼的思维过程，其中深藏着错误的原因。老师与那个小姑娘的任务是找出原因，避免再错。如若不然，再遇类似问题，也许她又答成“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚”呢。

    肖冬春——我同意这种看法。换句话说，知道男孩答案正确，并不等于找到自己的错误原因。

    韩小彧——前面几位同学的发言，从不同的角度，各有各的道理。但是，又都有一个绝对化的框框束缚着。这就是姑娘的答案一无是处；小男孩的答案绝对正确，天衣无缝。这个框框正是上面5个发言的潜在的共同前提。当然，错误答案之正确部分及正确答案之不足部分，如果真有，我现在还未想出。

    赫峰——她提出的问题，是一条崭新的思路，很有启发。我发现小姑娘的答案中有一个合理的因素，7个字母与题目要求的7个自然数合得上。

    曹博——这么说来，错误答案中的合理因素，可不止这一个。题目要求“a以后”，按照英语字母表由b到g都在a以后。

    姚树——题目要求“连续”，按英语字母表，从a到g是连续的，并没断开，也没跳跃。

    祝越——7个符号都可以表示自然数。这一点。也是符合题目要求的。

    李河——这么说来，“a以后”、“7个”、 “连续”、“自然数”4大要素都合乎题目要求，错在哪里呢？

    讨论至此，真是平地起风云。看来已经结束的问题，却又引出一片新话题。况且本来被公认为绝对错误的答案，现在却找不到一点破绽了。

    （二）罕见的对话

    正像大家的看法一样，当堂听课的主任觉察到：这件事并未结束。

    下课后主任与老师讨论，老师认为“a+1”到“a+7”是唯一正确的答案，全班已懂，教学任务已告完成。主任又去问学生。大家说那个小女孩在小学时，特别喜欢英语。主任领悟了：小学时只是在英语学习中才见到过a，题目似乎要求写出“a以后的7个”来，自然，a，b，c，d，e，f，g”在头脑中出现了，又在口中说出了。这正是心理学上所说的副定势起了作用。

    尔后，主任将女孩找到办公室。先肯定她喜欢英语，大胆举手的优点，接着是双方一连串的对话。

    “那题明白了吗？”

    “明白了。”

    “你的答案呢？”

    “全错了。”

    “一点对的地方也没有？”

    “没有。”

    “一丁点儿都没有？”

    “没有。”

    “真的吗？”

    “我没想过。”（唉！没有想过就坚定地认为自已全错了！）

    “现在想想看。”

    “想不出。”

    “b，c，d，e，f，g，不是在a以后吗？”

    “是”。

    “字母不是说了7个吗？”

    “是”。

    “7个字母，排列有序，为什么不跳着说呢。”

    “题目上说……”

    “你看，‘a以后’、‘7个’、‘连续’，都有了。这些字母又都能表示自然数。那么，哪有错的地方呢？”

    “咦，怎么没有错的地方了呢？”

    最后，在主任启发下，发现了错误：对于这些字母，没有给出符合题意的数学含义。一句话，把英语字母转化为数学符号的任务，没有完成。

    找出错误原因，就能纠正错误。简单说，将7个英语字母赋予符合题意的数学含意就是了。这样，找到了与众不同的答案：若a为自然数，令a＇＝a＋1，b＝a＋2，c＝a＋3，d＝a＋4，e＝a＋5，f＝a＋6，g＝a＋7，则a＇，b，c，d，e，f，g”便是正确答案。

    就是这样，正确与错误之间，只有一小撇之差。

    还应指出，运用这种灵活变通的思维方式，求解此题，正确答案是无穷尽的。即使是“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚”，只要将其赋予符合题意的数学含义，也能成为正确答案。这么看来，把“a＋1，a＋2，a＋3，a＋4，a＋5，a＋6，a＋7”看成唯一正确答案，失之于思维呆板，并且导致片面性和绝对化。

    （三）深刻的启示

    中小学生在数学学习中，错误常见，改错也常见。但是，这样的改错方式从未见过。

    这样的改错方式给我们的启示是深刻的，是多方面的。

    1.在变通性的动态思考中更深刻地掌握数学新原理

    掌握数学概念和原理，运用相关概念、原理解答数学问题，从而获得系统的数学知识，提高思维能力，这是数学学习的基本任务。

    用符号表示数是代数学的根本特点。在小学算术中只用阿拉伯数字表示固定的具体数目。而在中学代数中，就要用抽象符号表示多种多样的数学含义。用符号表示数的课题，是代数起始课的重点和难点。上面的题，正是为了使学生掌握这个代数原理而设计的。

    两种改错方式对理解原理的作用是不同的。先看一般方式：

a，b，c，d，e，f，g→a＋1，a＋2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7

    再看变通方式：

    a，b，c，d，e，f，g→令a＇＝a＋1，b＝a＋2，c＝a+3，d＝c+4，e＝a+5，f＝a+6，g＝a+7→a＇，b，c，d，e，f，g

    后者增加“令a＇＝a＋1，……，g＝a＋7”的一步，同时也就增加了“a＇～g”的新的答案形式，最后回到“a＋1，……，a＋7”的答案。中间增加两步推导，都运用了“符号表示数”的原理。这样，也就加深了对这一原理的理解。

    总之，对比两种处理方式，后者更有利于数学知识的掌握和学习能力的提高。

    2.创造思维能力在运用中得到增长

    运用变通性方式改错，不仅有利于学习能力的提高，也有利于创造思维能力的增长。

    变通性改错方式，加大了思维难度，是进行发散思维而获得的结果。当然，这也不是唯一的结果。更为重要的是：原来被认为解法唯一，现在变成无穷了。这就启发我们提出问题：

    （1）数学概念和数学原理统统都是永恒不变的吗？其表述方式是唯一的吗？

    （2）被认为只有一种解答方法的数学题是统统都不会有第2、第3种解决方法吗？

    当我们对这两个问题得出“不见得”的结论时，那么对今后的数学学习产生的影响，也就在其中了。即不以固定方式掌握数学概念、原理和题目解法为满足，而还要运用创造思维的发散性、灵活性，对每一个数学课题予以审视，积极发掘可能蕴含着的新内容、新方法、新的推理和新的表达方式。

    这样坚持下去，就会收到数学学习能力与创造思维能力同步超常增长的效果。（摘自《中小学生创造智慧超长增长训练》）