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面向新世纪的数学教育

2001-08-23　　　　丁尔升

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　　由于新技术革命??信息时代??的冲击，世界各国都在议论“面向新世纪的数学教育”，第六届国际数学教育大会、第七专题组（T7）“2000的课程”讨论了社会对数学的需要，社会需要哪些内隐的数学和外显的数学；课程改革；教师在改革中的关键性作用；计算机技术对数学课程的影响等，这个专题在会后还在继续组织研究，这个专题组的负责人西德Christine Keitel组织了若干国家在研讨，去年十月她参加了上海开的“课程发展与社会进步”国际研讨会，在会上做了题为《面向2000年的课程》的发言，回顾了三十年来的课程改革，特别提出了一系列面临的问题。ICMEVI上美国Lynn Arthur Steen在第五行动组（A5.大学数学教育）作了《面向新世纪的数学》的总结报告，也谈了这个问题，有的国家提出了改革方案，如美国，全美研究协会的数学科学教育委员会（Mational Science Education Board of the National Research Council）提出了一个《2000年中学数学的框架》，这个委员会和数学科学委员会，2000年数学科学委员会1989年提出了一个《人人有份》的报告??关于未来数学教育向国家的报告??建议进行数学教育改革，1983年4月美国全国教育质量委员会给美国教育部写了一份《国家面临危险，教育急需改革》的报告，提出美国教育正在走下坡路，要扭转这种局面必须对大中小学进行全面改革到加强基础学科，更新学科内容，提高教学质量，这个报告引起了国家重视和公众的重视，出现过成打的报告深刻分析了这个严峻问题的第一个方面，有的提出要改革课程，有的提出要改革学校结构，有的说是缺乏教师培训方法，都同意现行制必须改革，所以今年四月十八日(指1991年??编者）布什总统发表了《美国2000年教育规划》提出了一系列非常重大的措施。首先，要为今天的学生创办更好、更负责的学校要确定“新的世界标准”，指英语（语文）、数学、科学、地理、历史五门核心课程的教学大纲，包括知识、技能、能力、素质等方面的要求，数学的课程标准（教师联合会提出的）89年已经发表，陈昌平先生已在90年《数学教学》第二、三、四期上介绍过了，还要建立美国学业考试制度，设立“优异成绩总统奖金”、“总统成就奖学金”、“优化学校奖金”、“总统优化教育将金”；其次，为明天的学生创办新一代的美国学校建立“新型美国学校开发公司”，招聘杰出人才成立一引起研究开发小组帮助社区创建新一代的学校。“新型美国学校”将实施“新的世界标准”和“美国学业考试”制度，达到“国家六大教育目标”，新型学校要完全破除传统的办学观念和约束，可能广泛利用计算机、远距离教学录象设备等现代化手段，重新设计学校的人际关系和组织结构；总统将要求国会拨款6.9亿美元来兴办首批500多所样板学校建设全国教育电子网络向所有新型学校提供最新、最好的教育信息、教材和研究成果；最后，把美国变为“学生之国“，布什总统要求美国成年人“回到学校去”人人参加学习，把学习当作终身大事，把美国变为“学生之国”，总统要求全国工商企业制订“技能合格证书”制度，举办“技能反作用所”，把社区变为大课堂。

　　这段时间共同关心的有下面几个问题：

　　一、新技术革命的挑战

　　新技术把我们带到了一个人类历史惊人发展的阶段，这个发展将影响生活的各个方面，不仅是影响数学教育，数学教育里预示着三十年来的第二次革命，60年代引进“新数”是由于数学家不满当时的数学课程这个内在的原因所引起的后果，而新技术将改变我们所处的整个文化环境，这就迫使数学教育要作出反应。

　　新技术革命的迅猛速度产生了重要的新的排序问题，技术革新发展如此之快，以致使今天尚不知道的东西，明天就成了普通常识，这种令人眩晕的速度使那些有能力和经费跟上最新发展的人也是吃惊的，但是它正在威胁着为这种革新速度惊呆了的许多教师，而且远远超越了发展中国家现有的资源。当然，要把新技术传播给更广大的公众，不会是很迅速的，然而，今天在研制时昂贵，却常常在明天大量制造时会很便宜，而且对于我们来讲应当有长远的眼光，不仅要看到现在的实践，而且要看到最近将来可能有的发展，教育应该有适当的提前。

　　与新技术革命迅猛发展的同时，数学的新的应用也有很大扩展，工程和物理已经不再是数学应用的基本领域了。昨天的研究中得到的高深技术在今天的应用领域里已经成了常规手段。

　　比如在生物科学领域：微分方程被用于生理学，组合方法被用于发生键，扭结理论被用于模拟DNA。与此同时，在神经生理学中要使用图论，蛋白质工程要用数学模型，临床实验要用统计方法，而根率论则被用于流行病学。数学生物学是今天应用数学最振奋人心的前沿之一。它充分显示了数学的威力和多方面的实用性。这些数学工具帮助人们把生物学的研究推到了科学的前沿??了解生命和智力，这是我们这个时代的科学挑战，而数学在其中发挥着中心作用。

　　类似地，数学方法越来越多地被用于环境科学、自然资源模拟、经济学和社会学，还有心理学和认知科学，在这些新领域里，数学提供了理解，数学甚至正在进入艺术领域，例如计算机工具已被画家、电影制片人和音乐家所采用。

　　新的应用毫无疑问会改变现代数学学科的特征，不仅怎样用数学发生了变化，而且连数学家们研究的问题也起了变化。

　　数学本身在过去的三十年里经历了一场脱胎换骨的变革。其创新性和激动人心的程度丝毫不亚于生物学和计算机革命。这些新发现不论对于理论还是应用都有重大影响，改变了数学原来的面貌。比如：

　　?数论：计算的数学特点把数论重新推到了数学舞台的中央，对于经典问题（如椭圆曲线）的新处理在计算理论、数理逻辑以及对数据传输的保密性研究领域中取得了出人意料的成果。

　　?统计科学：随着从经济、遥测、实验室等不同渠道产生的大量数据涌入科学，统计方法就成了外部世界的信息同运用数学方法加以分析之间的不断变化的分界线。

　　?最优化：以线性规划单形算法为开端，直至最近的卡玛卡（Karmarkar）方法，数学最优化的难题（寻找最优解）和富有成效的应用（提高效益、降低消耗）都使之成为数学的前沿方向之一。

　　?直观化：在对感觉过程、计算机图像学和几何学的研究中得出一些共同思想正在产生全新的认知理论，它引起了诸如微分几何、组合算法、数据结构以及工程学等各专业的注意。

　　?动力系统：新近关于分形(fractal)的研究已经显了迭代序是怎样常常导致混沌的。混沌系统模型已经在科学中被普遍应用，并为数学研究开辟了许多新领域，其应用范围则从图像诸存中的数据压缩技术直到不稳定性的理论模型。（不管这种不稳定是发生在证券市场，还是在太阳系里）

　　?决策理论：来源于分析的连续模型给自然科学提供了合适的模型，与此相对，转变论：社会选择函数和专家系统中的离散模型为人文科学提供了更为适当的工具，这些科学并不依赖于连续的变化而是靠决策、投票和选举。

　　在过去三十年里，数学已经变形为一个丰富的数学科学的集合体，其内部的各分支通过相互制约的理论紧密相联，同时通过不断增长的应用网络与科学和商业世界保持联系，所以数学是一门朝气蓬勃、富有生命力的学科，它能够帮助学生用自己的智慧和精力去迎接当代的那些令人振奋的挑战，遗憾的是，学生们更多的是把数学看作是历史的一部分，是一堆早年制造的工具，时时境迁，已经毫无魅力可言了，这不能责备学生。因为我们没能够向学生展示数学的威力，数学课程仍然限于经典数学的内容和经典的应用领域。

　　美国著名数学家教育家明尼苏达圣奥拉夫学院的数学教授，文集《今日数学》和《明日数学》的主编，Lynn Arthur Steen在ICMEVI的A5上题为《面向新世纪的数学》的总结报告中一开始就说：“但是，世界在其它方面毕竟起了变化，并且是重大的、带根本性的、不可逆转的变化。在不久以前，中学数学（主要是算术）作为商业的语言还算够用，而高等数学被看成是科学的语言，然而这些都已成为过去！今天的国际商业靠的是贸易的计算机模型，它需要诸如随机微分方程这样精细高深的工具，而对于医学，研究夹说数学模型几乎与临床病例具有同等重要性，事实上，高等数学的语言??从控制论到几何学，从微分几何到统计学??已经明显地渗透到商业、医学以及现代社会的每个信息系统中去了。在工业化国家中，目前大约有一半的劳动力在从事信息工作，而在许多发展中国家里，信息工业常常是增长最快的经济部门，数学正是这个新的世界秩序的一部分；它象一个智力放大器，使那些拥有它的人具有明显的个人优势，获得经济利益。”面对新技术的挑战，数学和数学应用的冲击对于中学后数学教育必须做到：

　　“?在教授经典题材的同时也要讲现代数学，不光对高年级的优等生，对初学者也要这样做；?不仅用逻辑，还要用大量各种各样应用实例来显示数学的威力；?要向学生说明计算机是我们进行数学实践的天然伙伴，它是思想的一个来源，直观化的一种设备，同时也是计算工具；?发展新的教学策略（方法）以鼓励学生全身心地投入数学学习，成为数学事业的主动参加者；?要使数学成为整个教育管道中的泵，而不是过滤器；要保证使怀有各种不同兴趣的学生都能从所学的数学中得到益处。

　　这些变革必将对大学的数学教育产生有益的影响，并且这种影响还会扩展到中学数学、科学以致整个社会，课程设置的更新必定会牵涉到新的讲授方法，新的侧重点和新的例子。这些新的东西不仅仅要反映我们都学过的前几个世纪的数学，它们还应该反映面向新世纪的数学，而这才正是我们的学生所需要的！”新技术的挑战，使高中数学教育面临以下主要问题：

　　（1）数学应用日益变得多样化，越来越迫使我们去修订数学课程。

　　（2）更大比例的人口需要成为技术觉醒的人，而且这个比例会越来越大，因为在发达国家新技术的使用在增加而出身率在下降。

　　（3）技术革新如些迅速，以致要求个人能更加灵活，更加有能力去解决新产生的问题。

　　（4）对新技能的需求，要求有新的教学和学习方法。

　　（5）这又反过来要求有适当的评价方法。

　　对新技术和新概念的这些需要，有下面这两点可以得到满足：

　　（6）现在的教育研究正在日益加深对于学生的概念困难和促进学习的策略的理解。

　　（7）计算机改变了对数学的性质的认识，改进了处理概念的方法，使它更能被新的一代学生所理解。

　　技术革新的气息和对灵活性的新的需要提出要从以纯粹数学为内容的课程向数学内容与数学活动经验相结合的课程转化。数学活动包括搜集、整理和解释数据，数学的调查研究、建立模型、问题解决等等，要更加强调学习者的积极参与，而不是被动地从教师那里接受知识（信息）。八十年代已经在这个方向上进行了转化，发展了理论和实践，但是在高中水平的课堂现实中改变很小。

　　二、计算机和信息对数学及其教学的影响

　　导致数学教学重大改革的一股最明显的力量就是电子计算机对于数学及其教学的不断增长的冲击，为了研究这个问题。开过多次国际会议，其中最重要的是1985年ICMI Strasbourg会研究了数学和高中、大学的数学教学问题，得到一些结论：

　　第一，对数学的看法有所改变。

　　计算机的发展导致对数学和数学活动包括什么的看法有所改变，比如更加突出了数学中的实验方面，把探索和发现看作数学教学过程的重要组成部分，因为探索和发现可以使学生更好地保持和理解数学知识，更加自信；有助于教学生思维；可以提供对数学的最大美感；是使学生看到数学如此有用的最好途径；可以使学生把握数学的威力。计算机这个现代化手段可以用各种方法来辅助数学的探索与发现，比如用计算机的图象使各种二维和三维对象形象化，可以帮助学生自己去探索问题，发现结果：通过探测数据分析、图像和数值探测，用简单函数逼近复杂函数；通过符号数学系统去发现诸如二项式定理等数学公式等，这样可望保证为学生提供准备，去获得技能，经验，去观察、探索，形成顿悟和直觉，作出观测，验证假说，建立实验，控制变量、模拟等等，当我们强调上述活动的时候，需要保证诸如证明，一般化和抽象化等等传统活动不被忽视或取消，我们需要在“实验的”和正规的数学之间找到一种恰当的平衡。

　　如果我们这样来围绕和加强数学的“过程”，而不是只注意数学活动的结果，那么当然有必要去选择那些能鼓励和促进实验方法的数学课题和领域。

　　还必须强调两个要点：绝大多数学生不可能成为数学家，他们许多人可能学实验科学：数学中的实验与物理和其它自然科学的实验有所不同，数学中有“证明”这个有益的成分，数学还不是实验科学，必须看到思维训练和思维方式之间的区别。

　　除了实际使用计算机外，算法在课程中也要起突出的作用，在过去的二三十年中，计算复杂度、动力系统、科学计算和图象数据析等方面蓬勃兴起，但是在目前的课程中却几乎不为人知，即使不真用计算机，在尽早介绍这个课题方面仍然是大有可为的，但是大多数教师不去做这些努力，而是宁可舒舒服服地靠着几门经典课程过日子，这样一来，好学生们觉得数学不再具有吸引力也就不足为奇了。

　　第二，计算机改变了师生之间的关系计算机能够影响学生的行为，而且提出了学生、知识、计算机和教师之间的相互作用和相互关系问题，在这种情况下教师的作用要认真考虑；1、学生的数学活动如果学生能够主动地学习数学，那么他们能学得更好，而且能发展自主的行为模式，增强数学思维能力，把学生从被动中引出来去主动地思考数学是不容易的，一种方法是利用计算机提供有利而新鲜的经验，以激发这种行为。这种方法要求学生会写程序。当然，写程序不是使用计算机的唯一途径。他们还能用计算机探索和发现，用计算机提供的机会可以激励学生去实践发现过程。要强调需要把探索和发现看基本的数学活动，传统数学教学只是数学事实的传授与接受，有了计算机可以快速处理事例，可以容易地找到猜想和概括的模式，也容易探究反例，或者由机器辅助证明。

　　此外，计算机可以帮助扩大学生数学活动的广度和加深深度或者自制软件或者使用现成软件，二者都有很大价值。

　　2、教师的作用在课堂上使用计算机有两种方式：一种是作为教师的辅助工具，一块电子墨板，这种使用方法不会打破传统的课堂形式；另一种是允许和希望学生使用计算机，这样情况就大不一样了。必然导致方法的变革，教师不再能控制一切；他们的作用不再限于讲解、布置作业和评分而必须扩充，这种变革会在大多数学课堂中产生革命，要求教师不仅要获得新知识、技能和使用硬件和软件的信心，而且还应当根本改变他们现在的目的和重点并且减少控制程度。

　　第三，计算机在课堂上的使用。

　　1、绘制图象。计算机在教学上的许多应用都是利用它的图象显示功能。这个功能正是计算机胜于其它手段之处，现在它能描绘静态和动态的图象。

　　2、自我评价和个别化训练，计算机能作为学生自我评价，自己管理自己的工具，学生可以利用问题库，并可立刻得到评分，计算机辅助学习可以帮助个别化训练。

　　3、评价和计分。用计算机测试学生。可以随机产生测验项目，能节省测验时间，可以随时中断或继续测验，能够立刻总结和分析、发现教学粘的不足；计算机辅助计分也有很大潜力。

　　4、纠正学生错误，学生可以用计算机发现错误和纠正错误，自己去纠正错误往往变成激发学习积极性的因素。

　　第四，对计算机的威力和局限性要有一个清醒的估计社会和学生都对计算机的使用寄予很大的期望，这对各级教师有很大压力，不使用就会被人认为是守旧，在社会没有很好了解计算机的威力局限性之前，把计算机有效地用到教育上是困难的。

　　必须防止不现实的期望，有一个危险，计算机公司与软件开发者的虚假广告和来自社会各方面的压力会导致病态的设计和过于乐观的革新、要吸取六十年代仓促引进“新数”的教训。

　　所以重要的是要认识到：要在教育中合理使用计算机必须使软件承包的教育目标和质量与硬件的技术条件匹配；必须培训在职教师教育预算必须有给硬件、软件和教师培训的开支；课程不应长期不变。

　　计算机用于教育有关的问题，并非全部都可预料，许多问题需要研究才能回答，要研究计算机用于教育的可能性、局限性以及可能带来的危害。因为在学习中使用过度可能造成学生的思维和推单一化；软件开发的标准可能导致平庸和照章办事；过分使用计算机可能使师生间的交流断绝；使用计算机的单调工作可能对学生总的智力发展产生不利影响（包括他们的直觉思维、创造性、理解能力等等）。

　　前面提到过的美国全国研究协会数学科学教育委员会设计实验的一套课程《2000年中学数学的框架》就是为了适应“2000年的儿童和社会的需要和计算机技术发展的需要”而设计的。这个《框架》强调了数学课程应遵循的原则，其中最重要的是发展数学能力的重要性和一切课程设计需要从零开始，就是说大纲的所有内容的必要性都要经过谁，不能以现在的大纲上有作为理由，这个《框架》要求小学阶段大大减少对笔算的强调，而从幼儿园就开始使用计算器和计算机；在中学阶段同样要减少对符号运算的强调，而需要引进下述领域的材料：如数值分析（data analysis）离散数学，把它们增加到传统的中学教学材料中去。

　　计算机的使用应当分为三个水平：

　　在原则上的使用（理论上的考虑）；在实验中的使用；在现实中的使用。用这三个水平来衡量；在现实中的使用是很有限的，在英国1986年Green &Jones有个总结报告：中学50个学生有一台计算机；在现实中有39%教师很少使用，33%教师根本不用，即72%教师实际上不用或很少作用。

　　三、课程改革

　　《人人有份》预示这次改革要实现的七个重大的转变写道：“为了迎接时代的挑战，数学教育，正要处理几个困难的转变，这些转变将支配本世纪剩下这段时间的改革过程”。这七个转变可以概括数学教育的趋向和前景，这七个转变是：

　　第一，中学数学的目标应从双重使命（为多数人的数学很少，为少数人的数学很多）转变到单一目标；为所有学生提供重要的共同的核心数学，由于工业社会、信息社会对劳动力的需求是要他们有更高文化素养，所以要给大多数学生提供更多的数学教育，所以要发展适合于每个年级所有学生的核心数学，即要面向大多数，甚至是所有学生，要大多数公民都学好数学；对能力强的学生还要用数学去激励他们；在教学上用方法和进度而不是课程目标来区分；选择普遍有趣的课题和有效的教学方法。

　　第二，数学教学从“传授知识”的传统模型转变到“以激励学习为特征的，以学生为中心”的实践模型，由学生被动听进的课堂变成学生积极主动参与的像下面这样的学习环境：鼓励学生去探索；帮助学生表达自己的数学思想；让学生看到许多数学问题不只一个正确答案；提供证据，证明数学是生动的、激动人心的；使学生体验到深入理解和严格推理的重要性；使所有学生都建立起能够学好数学的自信。

　　第三，公众对数学的态度从冷漠和敌意转到承认数学在今日社会中的重要性，通过现代事件传送的信息，使公众认识；期望高的地方，数学学得也多；随着科学技术作用的扩大，数学的重要性也增加；对于有文化的公民发挥作用来说，数学文化和文化同样重要。

　　第四、数学教学从热衷于无数的常规练习转到发展有广阔基础的数学能力。学生的数学能力应该要求能够辨明关系、逻辑推理，并能运用广阔的各种数学方法去解决广泛的、多种多样的非常规问题，要求今日的学生必须能够：进行心算和有效的估算；能决定什么时候需要精确答案，什么时候宜于估算；知道在某一特定条件下适于使用哪种数学运算；能够正确、自信和恰当地使用计算器；会估计数量级以确认心算或计算器计算的结果；会使用表、图、电子数据表和统计技术去组织、解释和表示数值信息；能判断别人提供的数据的可靠性；会使用计算机软件去完成数学任务；能从模糊的实际课题中去形成一些特别的问题；会选择有效解决问题的策略。

　　第五，数学教学从强调为学习进一步的课程的需要传到更多地强调学生今日和将来所需要的课题，大多数的数学内容都要在它的运用的情境中来呈现，它的逻辑体系要随着年级的提高慢慢地建立起来，值得更多强调的课题和领域，作为例子，可举出：概率，它可以推进不确定性的推理和对风险的估价；探测数值分析和统计，它可以推进关于数据的推理；模型建立，它可以增进对复杂情形的系统的、结构性的理解；运筹学，它可以推进复杂任务的计划和行为目标的达成；离散数学，它可以增进对大多数计算机应用的理解。这些课题，将会使观察和实验在未来数学大纲中占重要地位，将使数学和其他科目，特别是和自然科学更加靠近。

　　第六，数学教学从原始的纸笔计算转到使用计算器和计算机，各级数学教师正使他们的教学方法适应于未来的课程、计算器和计算机使新教学模式可行，使用计算器和计算机的目的是扩充学生的数学能力，提高数学学习质量，计算器和计算机不是去代替用功和严格思维，而是用作争取好成绩的武器。

　　第七，公众对数学的理解从“随心所欲的法则的不变教条”转到“关于模式的严格而生动的科学”。数学是一门生动活泼的科目，它寻求蕴藏于周围世界和我们头脑中的模式。这个转变要求课程内容和教学方式两个方面的变革；寻求解法，不仅是雇步骤；探索模式，不仅是学习公式；形成猜想，不仅是作练习，当数学开始反映这些重点的时候，学生将有机会像这样去学习数学；作为探索性的、动态的、进展的科目，而不是作为僵死的、绝对的、封闭的一组被记住的定律去学习，学生将被鼓励去把数学看作一门科学，而不是看作教规，并且认识到；数学是关于模式的科学而不仅是关于数的科学。

　　课程改革是普遍的要求，但这个问题是非常复杂的，首先要注意的是数学课程内容可以看作有三种水平：一是计划的课程，即是国家的教学大纲或考试大纲中规定的；二是实施的课程，即教师教的；三是学到的课程，就是学生真正学到的。这三者之间往往有很大差别。最容易调查的是计划的课程；其次，教学内容有很大程度的致性，15岁以后的数学教学内容有很大的不同，如苏联所有17岁的学生学习微积分，在匈牙利是50%而美国仅10%，义务教育后继续上学的百分比从不到20%直到超过90%，在学校里学到“真正的”数学的人的百分比从10%到100%，学习为上大学作准备的数学课程的学生百分比为6%到50%，因此更增加了课程改革的复杂性。所以只能就一些议论最多的问题，综合一些有倾向性的预测，供我们研究参考。

　　（一）关于教学内容：

　　60年代“新数”运动后，内容采用了代数、几何、分析、加上一点在力学上的应用、统计和概率，1986年ICMI Kuwoait会上仍把代数看作仍然“在中学课程占中心的得要地位”，“然而，重要的事情不是让学生掌握操作技能（如多项式运算）而是教学生把代数看作解决问题的自然工具”，有的国家取消了欧氏几何，感到后悔，因为“大量从事科技工作的人需要掌握非常严格的逻辑性或数学性的陈述”，没有取消的仍然坚持，因为几何有利于激发学生的学习动机，为以后撑习和工作作准备，Kuwoait会建议的课程内容的改革以微积分占优势的状况，而引进与计算机科学关联的离散教学的概念，其它内容改革包括了哪些由于有了计算机而变的可能搬上课堂的内容，如数值分析，这些都是计算机发展带来的影响，上面在强调的课题中已经谈到，这里再补充三点：一是算法得到重新强调，并且要比较解决同一问题的不同算法的效率，二是符合操作，三是离散数学，对于程序设置的价值的看法有分歧，一方面看到，在填程序中许多是纯技术性的，另一方面，有一些重要的研究表明，在程序设计中的认知活动可以起到概念化的辅助作用，这个问题需要通过实验研究来解决。

　　教学内容中的另一个问题是“为大众的数学”的研究，60年代的“新数”主要是加强“中小学数学”与“高等数学”之间的联系，现在大力研究把中小学数学和民族数学联系起来，搞面向大众的“为大众的数学“的运动，这个运动从84年到现在已经七年了，要回答的一个主要问题是”数学是否应该保持在为大众的中小学课程中的核心地位？可能有四种选择：一是否定回答对每个人不能教“纯数学”；二是肯定回答，但必须设计好；三是肯定回答，但未必所有人都学懂；四也是肯定回答，但设计区分的课程对不同水平的学生区别对待，前面的七个转变中认为目标不能降低，可以通过教法和进度来区别。

　　（二）关于课程的建构

　　课程改革不仅是内容问题，不有课程的构建问题，即要回答“如何构建数学课程才能不仅易学，而且符合教学目标”？回答这个问题之前还要回答“我们要学生学到些什么？”只学“结果”呢、还是要学“过程”，现在强调需要学习“知识何来”，也就是学“过程”数学课程应该以数学过程为基础，而不是象在这样以学科内容为基础来重新编制，数学是一组过程，学校的任务是帮助学生如何“数学化”，那么，不仅是决定哪些数学课题对于中不生是必不可少的，而且重要任务是去选择哪些过程可能会更好地为提高公民素质服务，以及什么学校实践可能帮助学生学习这些过程。

　　在一个计算机化的社会里，这些过程应包括：比较、分类、排序、抽象、符号化、一般化，等等，所有这些都可以归入“数学化”这个术语之中，如何才能发展数学化的动能呢？“过程”能够作为数学课程构建的实际可能的基础吗？等等仍然是研究的课题。

　　（三）重视数学的应用

　　近年来，对于“应用”，对于使数学教学“贴近”实际，对于“数学模型”的教学，已经有许多谈论，事实上，数学教学历史上总是具有很强的职业的成分；只有随着中学和大学的学????Ш拖质档牧?挡疟缓鍪樱??墙獭坝τ谩焙褪褂谩跋质瞪?睢崩?拥奈侍馊杂写?芯浚?坝τ谩痹谑?Ы萄е锌梢杂行矶嘟馐停?行┤宋?姆窍质瞪?畹睦?樱?部赡苡械靡?慕逃?壑担?部赡苎?裳??τ檬?У募寄埽?荒芤桓欧穸ǎ?褂幸焕啻?车睦?邮枪?荨跋质怠钡模?侵苯哟又耙抵心贸隼吹模?绫〖恰⑺笆眨??堤厥獾胤焦ひ档氖?В?纭叭??槐谩闭庋?南质道?樱?饩陀幸桓觥八?南质怠蔽侍猓?庑├?又皇巧缁岬囊恍┨厥庑枰??蛔闳【退闩懦?艘陨险庑├嘈偷氖道??够嵊卸嘀中问教逑帧坝τ谩保?纭笆孛旁比绾握疚徊拍芩跣《允值纳浣牵俊薄?肮デ蛟庇Φ卑亚虼?嚼肭蛎哦嘣叮??纳淝蛭恢媚苋〉米畲笊浣牵俊闭庑┪侍獍咽?в胧导是榫傲?翟谝黄穑?杂行┭??形??δ芪??巳ぃ??⒉皇钦嬗檬?Ы饩鑫侍猓?挥心母銮蛟被嵴庋?ゼ扑闼?钦玖⒌奈恢茫??У闹匾?灾饕?辉谟谡庋?摹坝τ谩保??匾?氖牵?庵帧傲?怠保?豢赡茏苁墙岷涎??摹跋质怠钡模???arson说的“现实是主体和时间的函数，对我是现实的，对别人未必是现实的，在我时是现实的，现在不一定再是现实的了”。

　　可见要使课程有“应用”性是既复杂，又长期的问题。

　　前面说的都是用来为数学服务的“现实”例子，当数学用业为现实服务时，即当我们用数学解决问题时，情况就完全不同了，它是完全不同的一种例子，它是用数学去描述、理解和解决学生熟悉的社会现实问题，这种问题不仅有社会意义，而且不局限于单一的数学，还要用到学生多方面的知识。

　　加强实际应用，这是教育传统中长期持续的工作，1918年Kilpitrick讲的“社会环境中有目的的活动”运用“设计”、“兴趣中心”来激发学习动机即所谓“设计教学”法，这是老例子，但也有一些新的例子、实际上七十年代前提出的指导思想，对于设计90年代跨学科的方案仍然是有价值的：教材要充分接近学生的现实；教材单元要能提供机会去寻求适合现有学生智力水平的问题、目标和兴趣；教材单元要能促进创造性的、智力的和社会性的各种活动；教材单元要能促进个人和小组由现有水平向下了阶段发展；教材单元要能激发个体主动进取的愿望和扩展其兴趣与理解力的责任心；教材单元要能满足社会要求、阐明社会意义；教材单元要能导致所需的智力的、社会的和道德的习惯，如毅力、合作、虚心、良好的判断能力、自我导向和首创精神等。

　　现在有一种愿望：在中小学引进跨学科的、以社会为基础的设计工作，在这种设计工作中，学生会看到数学如何才能够应用到真正的“现实生活”问题上去，并且可望获得进一步学习的动力，会自然地产生建立“数学模型”的机会，实际上关于数学模型化的学习包括了各种水平的活动，现在有必要研究许多模型，明确“数学模型化”的确切意图，2000年的一个重大挑战不仅是提供在学校能够学的应用的实例，而且是更深入地研究各种类型应用的教育目的和正确性，所以学生如何应用数学必定是九十年化一个主要目标，这里有三咱可能的选择：第一，在数学课内的应用，这种应用可以直接引起动机，要求学生具有数学以外的知识，第二，数学应用于其它课内，第三，数学应用于跨学科的设计（项目）中，这项工作在未来的年代中是最值得认真探讨的开发性工作。

　　（四）问题解决问题解决是数学教育改革的热门话题，范围也在日益扩大，日本已把问题解决纳入了指导要领，美国的课程标准，仍把问题解决作为“一切数学活动的组成部分，应该成为数学课程的核心”、整个数学课程要围绕问题解决展开，英国也是把问题解决作为一种教学模式、数学教学的指导思想来对待的，面对文化压力的增长和新技术的挑战更加显得的问题解决的重要，认为要通过教育中的更大的问题解决的方法去开发学生的智力来回答迅猛的技术革命的问题，这里的原则是：如果我们不能预测明天需要什么，那么最好的回答是用思想武器武装下一代去面对新的挑战，当然不能低估实现晕种措施的困难和60年代的“新数”不同，“新数”至少是有大学训练的教师是了解其内容的，而问题解决除了少数人外，对绝大多数人都是全新的。

　　荷兰在1981-1985年间为文科开发了一套新的16-19岁的数学课程，对数学作了现实主义的处理，现实世界的问题在把它们数学化之前，先直观的考察和“新数”的结构主义处理恰成鲜明对照。

　　有些建议通过数学模型化把更多的问题解决因素引进高中数学；“我们确实要学生能够把他们的数学技能用到实践中去而且只有通过活跃的总是解决他们才能做到这一点??问题可以是现实的或者纯数学的??统一它们的是，它们给学生以机会去：

　　应用他们的数学技能；小组活动；表现创造性、想象力、革新精神、批判性；激励进一步的数学学习。

　　四、未来的研究课题

　　面对新技术革命、全世界都在进行数学教育改革的尝试，下面提出一些课题是任何一个根本改革数学教育的国家都必须研究并加以回答（或至少是部分回答的），这些课题是为了解决（1）大纲的制订及大纲与教师培训的关系。（2）数学教育与新技术革命的关系。

　　（一）课程、大纲、教材1?1作为教科书的课程和大纲，大纲和课程以教科书（指导纲领、小册子、说明、资料汇编）的形式来呈现社会所需要的知识。这些对目标和内容的讲述是否包括数学方法、教育活动和实例？教科书的类型和编写形式如何（操作化目标加上注释和历史资料）？教科书的语言（科学的、通俗的、或教学的语言）篇幅该怎样才易于去理解、便于学习？大纲和课程只是一些概念、方法或活动的汇集还是要更加结构化，并提供统一的、全面的数学观点？任何年龄组中学生理解能力差异很大（比教师估计的大得多），大纲采用什么策略适应这种情况？个别化？区别对待？

　　1?2课程结构和编排顺序数学方法、理论和应用诸方面有课程和大纲是否取得平衡，相称？内容的选定、组织、重点的确定是用什么思想、观点指导的？是用数学结构、或其它理论结构的观点，某种实用数学的观点或传统的数学方法的观点？

　　采用什么方法编排顺序、逻辑顺序与学习心理上的顺序不尽一致，怎样处理这种不一致性？知识结构广度如何，确定广度和编排顺序是否有研究资料作依据？

　　1?3作为革新工具的课程和大纲大纲的设计与谁有关？由谁主管？由谁负责主要责任？谁来试验、修订和管理课程？大纲编写委员会有多大的独立程度？对政治观点和不同意见的争论有多在影响力？

　　1?4作为教师在职培训工具的大纲和课程。

　　是否要编写说明性材料（教师参考书、手册等）作为对大纲和课程的补充？作为革新教师培训的工具，它们怎样发挥作用？

　　大纲采用何种形式？以规定目标的形式，还是用提出问题的形式（不给现成答案）？

　　1?5内容与概念能否用一种统一的综合结构取代代数、几何分科？这一工作进行到什么程度，具体的章节是否开发成功？是否存在贯穿各层次的概念核心（例如，代数、几何中的推理、论证开始于算术中的说理；又如函数与映射的概念贯穿于教学的所有方面）？

　　某些机械的知识和机械的程序化的技能在多大程度上作为发展概念的先决条件？

　　象“探测数据分析”、“统计学”、“离散数学”等一些对较新的数学应用至关重要的项目，怎样纳入大纲？仅仅把综们加进去，还是综合起来？

　　大纲和课程与学科的无数学观点有什么样的关系？这些做为总目标的观点只写进普通序言之中或作一般性说明，或是把无数学的观点贯彻进概念方法的阐述之中？涉及范围多在？可以从启发式，有效展示概念起直至改变学生对数学本质的认识和对数学的态度。

　　1?6建立模型和调查研究主要问题在于提出问题、建立模型的工作和数学上已经建立起来的逻辑和层次结构不能完全协调，因为问题和模型都要受课程和大纲所规定的方法限制和制约，所以开放式的问题和建立模型的方法所具有自由度可能是难以实现的，这些困难和可能出现的危险应当怎样处理？

　　目前大部分数学上的程序化、操作化的工作都可以用机器既快且精确地去完成，而且耗费越来越小，学校中教的技能层次上的数学是否变得越来越没有用？面对这样的事实，目的、目标、重新组建的课程应当作出什么反应？

　　由于精神性的工作通常用计算机来完成，课程怎样来涉及到一些更加需要思维持技能和思维习惯？比如估计和检验答案的合理性等等。

　　（二）数学教学与新技术（革命）

　　2?1作为学科和作为技术的数学由于新技术和设备的应用引起数学中的变化，数学知识该如何重新组织？利用新技术来建立模型的可能性日益增大，而且这些模型理论上理解还不多，大纲如何处理这种可能性？数学的新的形象化、具体化会引起什么问题？

　　2?2作为技术的一部分的数学由于机器的使用，数学技能技巧方面的内容越来越不显露了，大纲怎样处理这个情况？怎样去提示将来数学应用的前景？课程怎样妥善处理数学具体化方面的内容？怎样把模式运用与作出决策的合理联系起来？数学模式怎样才能清楚地进行讲授？在社会实践中应用的数学往往是内隐的，而数学模拟和数学教学是外显的，大纲如何把这二者联系起来？即如何使隐性数学显性化？

　　2?3数学与技术之间关系的社会方面由于新技术的影响而引起的哪些社会变化应当加以考虑？大纲如何处理由信息技术所决定的社会交际的变化？大纲怎样处置民主和专家制之间的二合法？（大纲就教会学生大量数据处理，从调查、民主中得出结论，而不是专家说了算）

　　2?4形成性方面与技术把计算机看作多功能的工具还是较多地看作单一的目标软件？学生用计算机可能学到没有计算机就学不到的知识吗？计算机能够提高成绩吗？计算机等先进技术如何促进概念发展？（例如软件模是否能用作思维工具？数学怎样被看作思维技术？）技术怎样用来促进认知活动？大纲如何区分出概念发展的技术方面、结构方面、主观方面等，又怎样将它们联系起来？数学教育提供了那些与技术有关的知识和实践知识与数学教育联系起来？

　　2?5技术作为提供教学的一般工具软件工具是否用作教学工具（动态显示等）；或者是用作发现法学习的有效学习工具？哪些手段和技术工具可以用作发现法学习的有效学习工具？是否把计算机用于某些学科（如几何学、统计学）的教学？怎样用计算机来提高解题能力？从总体上计算机和技术怎样用于实际生活的模拟（大数据库和复杂技术的应用）？计算机程序是否已经能够代替初等和高等数学教学？怎样把计算机设计成学习工具？技术如何影响数学课堂教学的组织？计算机怎样用于分组学习？计算机和程序语言是否是数学教学中的学习目标？

　　2?6数学教育的情感方面与技术目标要针对哪些相对于技术的潜在的、批判性的态度？在数学教育和技术大纲中作为起决定性作用的人的因素是怎样处理的？

　　哪一种社会意识形态与计算机相结合（目标体系和相对它的法则体系）

　　


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