中国教育

    因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。

    例1 把－a²－b²＋2ab＋4分解因式。

    解：－a²－b²＋2ab＋4＝－（a²－2ab＋b²－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）

    这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x²＋4y²＝（－3x）²－（2y）²＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误?膊荒芗汉啪拖取疤帷保匀饨蟹治觯?/p>

    如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c²＋a²＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。

    分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

    证明：∵－c²＋a²＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0．

    又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0，

    即a＝c，△abc为等腰三角形。

    例3把－12x^2ｎyⁿ＋18xⁿ＋2yⁿ＋1－6xⁿyⁿ－1分解因式。解：－12x²ⁿyⁿ＋18xⁿ＋2yⁿ＋1－6xⁿyⁿ－1＝－6xⁿyⁿ－1（2xⁿy－3x²y²＋1）

    这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）³－8p²（x－1）²＋2p（1－x）²＝2p（x－1）²［3（x－1）－4p］＝2p（x－1）²（3x－4p－3）的错误。

    例4 在实数范围内把x⁴－5x²－6分解因式。

    解：x⁴－5x²－6＝（x²＋1）（x²－6）＝（x²＋1）（x＋6）（x－6）

    这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x⁴y²－5x2y²－9y²＝y²（4x⁴－5x²－9）＝y²（x²＋1）（4x²－9）的错误。

    由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。