中国教育

　　从20世纪90年代中期开始，数学实验作为大学数学教学改革的产物在国内高等学校诞生，它以与传统数学教学不同的方式在大学数学教育中引起广泛的兴趣。数学实验是让学生通过结合使用计算机解决实际问题的过程来学习数学或应用数学，它并不是一门单纯介绍某一数学分支或数学方法的课程，其主要特点是：有让学生自己动手解决具体问题的“实验”；通常包含了从问题到数学形式的建模；结合使用数学软件或编制程序。因此，数学实验是数学教学中的一个实践环节。

　　数学实验发展迅速，在国内有一大批学校开设了数学实验课，而且有越来越多的学校准备开设这门课。课程的对象不仅是理工科专业，而且包括了经济管理甚至文科等专业。数学实验课程的模式有多种，但大致可以分为三种：一种是以介绍数学应用方法为主，通常是计算、统计和优化方法，以这些方法联系实验开展教学，这方面以清华大学的数学实验课为代表；另一种是以解决来自各个领域的实际问题为主，即“案例式”的教学，在解决问题的实验中来学用相关的数学知识，这方面以上海交通大学的数学实验课为代表；还有一种是以探索数学的理论和内容为主，目的是通过实验去发现和理解数学中较为抽象或复杂的内容，这种数学实验课较适合数学专业，这方面以中国科技大学的数学实验课程为代表。

　　无论哪种模式的数学实验课，都必须有让学生自己动手解决问题的过程，由此过程提高学生对数学的理解和掌握，更重要的是学会数学的应用。在数学实验课程中需要学生应用多方面的知识和掌握多种（包括应用数学和使用计算机）能力，有助于培养和提高学生的综合应用能力。同时，在实验中学生的学习主体作用非常明显，学生的主观能动性能够得到好的发挥。正因为如此，数学实验课程已成为一门极具活力的新型数学基础课程。

　　一、背景

　　数学实验课的产生源于大学数学教学发展和改革的需要。

　　随着科技进步，尤其是计算机技术的高速发展，数学对于当代科学乃至整个社会的影响和作用日益显著。数学成为科学研究的主要支柱：其方法及计算已经与理论研究和科学实验成为科研中不可缺少的基本手段。同时，现代数学几乎已经渗透到包括自然科学、经济管理以至人文社会科学的所有学科和应用领域中，通过建立数学模型、应用数学理论和方法并结合计算机解决实际问题成为极其普遍的模式。因此，社会对科技人才培养中的数学素质和能力已经提出了更新更高的要求。然而，传统数学课程对此反映不足：多年以来教学内容、方法和手段变化甚微，不能体现数学在科技和现实生活中所起的重要作用，也未能充分结合先进的计算机技术改进教学过程。因此，出现了像中科院院士李大潜所指出的那种“长期存在的矛盾现象：一方面数学很有用，另一方面学生学了数学以后却不会用。”数学实验课的开设，正是为了使学生了解和初步实践应用数学知识和方法解决问题的全过程，结合计算机进行“实验”，动脑动手，提高他们学习数学的兴趣、激发他们自己解决实际问题的欲望，从而促进独立思考和创新意识以及综合应用能力的培养。

　　二、案例式教学

　　上海交通大学是国内最早开设数学实验课的学校之一，在该课程建设中已经形成了自己的风格和特点。其主要特点是在课程中采用“案例式教学”的模式： 即大多数实验都是从一个实际问题出发，来讨论、分析，并最终解决这个问题。每个教学案例基本上包括了“问题提出-建立数学模型-分析研讨-计算机处理-小结或进一步思考”的过程。

　　这一模式并非像传统的数学课程那样：从概念、定义和公理出发，在进行一番推理、论证后，导出定理、公式或方法后再来讲应用，而是直接由实际案例出发，在解决这个具体问题中来引出、介绍相应的方法和理论。这一教学方法有的放矢，针对性强，通过具体、个别的问题了解整体、一般性规律，比较符合人们的认识过程；容易引起学生的兴趣，宜于被学生接受。同时，由于每一案例具有相对的独立性和完整性，并无逻辑与次序上的关联，便于灵活选取。因此，这一模式在教学中具有方便、利于安排的特点。

　　虽然数学实验中的案例大多可以在数学建模教材中找到，然而怎样利用具体案例的素材来组织教学，从而达到让学生（尤其是低年级的大学生）通过实验学用数学的目的却并非易事，为此我们在教材编写及教学中对素材的处理采取了以下做法：

　　1．案例涉及的数学基础以理工科大学一二年级所学的微积分、线性代数和概率统计知识为主。有些案例内容可能涉及了超出这个范围的知识，例如我们采用的浑沌理论、小波方法等，但都经过了深入浅出的处理而归结为较简单的形式。这使得一般学生都有能力来参与实验。

　　2．取材尽可能有广泛的实际背景，而且尽可能反映多种领域，反映新学科分支，反映现实生活。在我们所选的实验案例中，有传统的物理、力学问题（“行星的轨道和位置”、“导弹跟踪问题”等），也有经济、管理问题（“投入产出分析”、“库存系统的仿真方法”等），还有金融问题（“个人住房抵押贷款”、“股票期权定价问题的Black-Scholes方程和二叉树方法”等）；有涉及信息技术的问题（“Hill密码的加密、解密和破译”、“机器人识别定形工具柄问题”等），有非线性科学问题（“从物种增长的Malthus模型到混沌”、“生物电分析的小波方法”等），还有来自生产第一线的问题（“油罐标尺刻度的设计”、“建筑工程公司投标的决策分析”等）。丰富生动的题材有利于扩大学生的知识面，提高对数学作用的认识。

　　3．案例的内容引入至关重要。首先，必须有可接受性，最好带有一定的趣味性，以吸引学生参加。所涉及的数学知识应当尽量结合他们已学或正在学的课程内容，所选问题难度应当适中，数值处理过程也应当较为简单。总之，在内容的安排上，宁可低些，但要近些。“低”是指涉及的理论、方法和计算都不太复杂；进入的门槛较低。“近”是指接近大多数学生的实际水平，以使他们能切实参加。其次，数学实验的内容又应该留有充分余地，以利于不同水平的学生发挥，使他们各得其所，尤其要让某些同学的创新意识或突出能力有可能在实验的不同环节得到显示。

　　4．在选取适当案例的基础上，我们的教学方式采用讲授与训练相结合、课内与课外相结合、理论推导及运算与上机操作相结合的方式。在课程开始阶段，首先对数学软件的使用做必要的准备（一般由教师讲授两次，学生在课后进行适当练习），其后在每个实验开始时，通常先由教师授课，介绍实验的背景和要求，以及相关的建模方法、数学解析和近似的处理方法，再布置实验任务。学生分小组（每组2～3人为宜）在课外讨论后，再上机操作，最后写出实验报告。在有必要的时，对学生的实验情况可做讨论或小结。

　　三、提供选择性

　　我们数学实验课程的另一个主要特点是强调学生在该课程中的自主性和选择性。为此，我们尽可能使课程教学多样化。

　　案例的多样性：案例要丰富，虽然在教材中收集了不少案例，然而仍然需要不断提供新的案例，从各种学科，从生活中发掘新鲜活泼的材料来提炼实验。同时，对于已有的实验，也可以积极设计新的内容，使其适合学生的兴趣和水平。

　　案例解决方法的多样性：对一个数学实验问题，提供多种积极的思路和方法，对于开阔学生的视野，在比较中理解数学的原理、思想或方法常常是十分有效的。

　　例如，导弹跟踪问题是一个在数学建模和微分方程教材中常见的例子。但我们在教学中既提供解析方法，又提供数值方法，还提供仿真方法。后者虽未建立微分方程模型，仅应用初等数学的知识，却得到方程离散后同样的格式，对学生的启发也很大，即了解到仿真是十分有意义和有效的。

　　实验任务的多样性：实验任务不应该是单一的，应该具有阶梯性，或层次性。这可以从两个方面来看：一方面是任务应该由浅入深，逐步发展，可以在难度上要求解决更困难的问题，也可以从广度上采用不同的方法，问题如果有开放性，就更好；另一方面是任务应该适应不同层次的学生，有充分的余地。例如Hill密码的任务，我们设计了几个任务：（1）仅要求利用一个加密矩阵来使明文变密文，再求解密矩阵和破译密文；（2）给出字母出现频率较高的两组字母在明文，密文中的对应，让学生试着求加密矩阵；（3）给出一段密文，通过分析各种可能来破译。这些任务难度逐步深入，任务（3）很难，但具有挑战性。

　　完成实验方式的多样性：由于数学实验是结合计算机来完成的，学生完成实验方式也可以有多种形式。包括文字形式的报告和软件形式的成果。

　　正是由于提供了多样性，在数学实验课中学生就有比较多的选择性：

　　选择实验：在一门实验课中，教师讲授的实验大约有10个以上，我们允许学生选择愿意做的实验，一般只要求完成三分之一目的实验。学生可以选择自己喜欢的实验，还可以选择教师没有讲授的实验，甚至可以做自己有兴趣解决的、在生活或者其他学科中发现的问题进行实验。

　　选择任务：由于实验任务的多样性，学生可以选择任务的一部分，或者全部来完成，学生还可以改变实验的任务，提出设想，提出条件，在新的设想和条件下完成任务。

　　选择完成方式：这意味着学生可以在若干种解决问题的方式中，选择任何一种方式来完成实验任务；同时，在使用计算机时，也可以选择自己熟悉的手段来处理问题，可以选择软件或者选择自己编程，最后学生还可以选择完成实验报告或者说明实验结果的小软件。

　　选择实验上机和实验伙伴：计算机实验室为学生提供选择上机时间的自由，给出若干时间段供选择，学生完成实验递交报告的时间也留有充分余地。另外，学生还可以自由结合组队来完成任务。

　　在数学实验课的教学中，我们的口号是：选择你喜欢的实验，选择你喜欢的任务，选择你喜欢的解决方式，选择你喜欢的报告形式，总之做你喜欢做的事情。

　　四、结语

　　数学实验的教学实践收到了较好的效果：

　　首先，学生普遍喜欢这门课。有同学说“我们对这门课很感兴趣，真心地喜欢。数学实验课的开设给了我们一片广阔而自由的天地。每一堂课，都会接触到一个或一类具体的、实际的问题，学到某一方面的数学知识。我们常会忽然体会到：数学知识与现实生活密不可分，就在我们身边。每当我们看着花了好多心血与时间写出的报告时，心中便洋溢起成就感。”

　　其次，参加课程的同学都能选择自己感兴趣的实验，完成从实际问题到建立模型，进而求解，尤其是进行数值处理用计算机得到实验结果的全过程。这种自主性和选择性使他们学会主动学习。有同学说“大一的1年，确实让我领略到了大学教育与以往的截然不同。毫不夸张地说，数学实验这门课程便是我所见识的大学教育的代表。我认为，数学实验是一门新颖而富挑战性的课程。如果要总结数学实验这门课的特点，我想最重要的，也是最有魅力的便是自由，无论你偏爱C＋＋编程还是Mathematica，甚至仅使用office套件中的Excel也能得出令人满意的结果，这极大地发挥了同学的能动性，也避免了以往课程的循规蹈矩。……”

　　值得注意的是，在这样的实验课中，出现了一批表现出色的学生，大大超出教师预期的水平。有些实验报告观点独特，有一定的创见；有些实验报告表现出学生使用计算机编程和作图解决问题的特别能力；有些实验报告反映学生能查阅资料进行自学，对问题的发展做更深入的讨论。总之，出色的实验结果体现了学生的创造精神和应用能力。这些学生中很多人在参加国内外大学生数学建模竞赛的活动中都有出众的成绩。

　　另外，学生主动选择的实验对培养学生的创新精神具有相当积极的作用，上海交通大学为了培养学生的创新意识，鼓励本科生特别是低年级学生自选项目，自选导师，早期进入科学研究的基金项目，在经过数学实验课学习以后，学生参加这类项目的积极性和可能性都提高了。同时，学生每年参加数学建模竞赛活动和其他有关活动的积极性也明显提高了。

　　目前，大家对数学实验课的模式、定位，内容选取和教学方式等方面可能有着各种不同理解和多样选择，还需要进一步探索。另外，怎样在数学课程本身融入数学实验，也是十分有意义的工作。可以肯定，随着更多学校的参与、研究和实践，会不断提高数学实验课程的教学水平，并在数学教学中发挥更大的作用。